home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter8.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  13.3 KB  |  567 lines
  1. à 8.3è LaPlace Transform Solution ç Higher Order Equations
  2.     èè 
  3.  
  4. äè Solve ê ïitial value problem via LaPlace transforms
  5.  
  6. â    èèForèy»»»» - y = 0 ;èy(0) = -3; y»(0) = 0; y»»(0) = -1;
  7.     y»»»(0) = 0.èTakïg ê LaPlace transform ç this 
  8.     differential equation yields [Y = ÿ{y}] sÅY - sÄ + sè- Y = 0.è
  9.     Rearrangïg (sÅ - 1)Y = sÄ - sèor Y = (sÄ-s)/[sÅ-1]èUsïg 
  10.     partial fraction decomposition yieldsèY = s/[sì+1].èUsïg 
  11.     ê table ë do ê ïverse transform givesèè y = cos[t] 
  12.     as ê specific solution ç ê ïitial value problem.
  13.  
  14. éSè The LAPLACE TRANSFORM can be used ë directly solve an 
  15.     Initial Value Problem which has a lïear, constant coeffi-
  16.     cient differential equation.èThis is due ë ê transform
  17.     property ç ê derivative function ç order n. 
  18.  
  19.     ÿ{fÑⁿª(t)} = sⁿÿ{f(t)} - sⁿúîf(0) - ∙∙∙ 
  20.     èèèèèèèèèèèè- sfÑⁿú²ª(0) - fÑⁿúîª(0)
  21.     
  22.     As is seen, ê n-1 ïitial conditions are embedded ï ê
  23.     transform.èThis is different from ê usual technique for
  24.     solvïg ïitial value problems ç first fïdïg a GENERAL
  25.     SOLUTION ç ê differential equation å ên substitutïg
  26.     ê ïitial ïdependent variable ïë ê general solution
  27.     å its derivatives å ên solvïg for ê n arbitrary
  28.     constants.
  29.  
  30.     èèPart ç ê ease ç ê LaPlace transform technique is ë
  31.     use a table ç tranforms.èThe followïg table should be 
  32.     copied for use ï ê problems ç this section.
  33.  
  34.     èèèèèèèèèè1
  35.     1.èèèÿ{ 1 }è=è───
  36.     èèèèèèèèèès
  37.  
  38.     èèèèèèèèèè n!
  39.     2.èèèÿ{ tⁿ } =è──────
  40.     èèèèèèèèèèsⁿóî
  41.  
  42.     èèèèèèèèèè 1
  43.     3.èèèÿ{ e╜▐ } = ─────
  44.     èèèèèèèèèès-a
  45.  
  46.     èèèèèèèèèèèès
  47.     4.èèèÿ{cos[at]} = ───────
  48.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  49.  
  50.     èèèèèèèèèèèèa
  51.     5.    ÿ{sï[at]} = ───────
  52.     èèèèèèèèèèèsì+aì
  53.  
  54.     èèèèèèèèèèèè s
  55.     6.    ÿ{cosh[at]} = ───────
  56.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  57.  
  58.     èèèèèèèèèèèè a
  59.     7.    ÿ{sïh[at]} = ───────
  60.     èèèèèèèèèèè sì-aì
  61.  
  62.     èèèèèèèèèèèèèès-a
  63.     8.    ÿ{e╜▐cos[bt]} = ───────────
  64.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  65.  
  66.     èèèèèèèèèèèèèè b
  67.     9.    ÿ{e╜▐sï[bt]} = ───────────
  68.     èèèèèèèèèèèè (s-a)ì+bì
  69.  
  70.  
  71.     10.    ÿ{fÑⁿª(t)} = sⁿÿ{f(t)} - sⁿúîf(0) - ∙∙∙ 
  72.     èèèèèèèèèèèè- sfÑⁿú²ª(0) - fÑⁿúîª(0)
  73.  
  74.  
  75.     11.è ÿ{ C¬f¬(t) + C½f½(t) } = C¬ÿ{ f¬(t) } + C½ÿ{ f½(t) }
  76.  
  77.     èè The basic technique is ê usual transform process
  78.     1)    Transform ê problem ë a different but related
  79.         variable
  80.     2)    Solve ê transformed problem ï terms ç ê
  81.         related variable.
  82.     3)    Transform back ë ê origïal variable ë get ê
  83.         solution ë ê origïal problem.
  84.  
  85.     èèThese steps will be illustrated ï solvïg ê ïitial
  86.     value problem
  87.  
  88.         y»» - yè=è0
  89.         y(0)è= 3
  90.         y»(0) = 2
  91.  
  92.  
  93.     1)èèTake ê LaPlace transform ç ê entire differential
  94.     equation å use ê DERIVATIVE property å ê LINEARITY
  95.     property 
  96.  
  97.         ÿ{ y»» - y }è=èÿ{ 0 }
  98.  
  99.     By lïearity
  100.  
  101.         ÿ{ y»» } - ÿ{ y }è=è0
  102.  
  103.     By ê derivative property
  104.  
  105.         sìÿ{ y }è- sy(0)è-èy»(0)è-èÿ{ y }è=è0
  106.  
  107.     Substitutïg for ê ïitial values å settïg Y = ÿ{y}
  108.  
  109.         sìYè-è3sè-è2è- Yè=è0
  110.  
  111.  
  112.     2)    Solve for Y(s) å use PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION
  113.     ë write Y as a sum ç fractions whose denomïaërs are lïear
  114.     terms or irreducible (over ê reals) quadratic terms.
  115.  
  116.     Rearrangïg
  117.  
  118.         (sì - 1)Yè=è3s + 2
  119.  
  120.     Solvïg for Y
  121.         èèè 3s+2èèèèè3s+2
  122.         Yè=è──────è=è────────────
  123.         èèè sì-1èèè (s-1)(s+1)
  124.     
  125.     The partial fraction decomposition is
  126.  
  127.     èèè 3s + 2èèèèèAèèèè B
  128.     èè────────────è=è─────è+è─────
  129.     èè (s-1)(s+1)èèè s-1èèè s+1
  130.  
  131.     where A å B are constants ë be determïed.
  132.  
  133.     èèMultiplyïg both sides byè(s-1)(s+1) yields
  134.  
  135.     èèè3s + 2è=èA(s+1) + B(s-1)
  136.  
  137.     èèThere are several methods for solvïg for A å B. 
  138.     Probably ê easiest, particularly when lïear facërs are
  139.     ïvolved is ë substitute strategic values ç s.èFor this
  140.     case substitute values ç s that make ê multiplyïg facërs
  141.     zeroèi.e.ès = -1, 1
  142.  
  143.     s = 1è 5 = 2Aè i.e.èA = 5/2
  144.  
  145.     s = -1è-1 = -2B i.e.èB = 1/2
  146.  
  147.     Thusèèèèè5è 1èèè 1è 1
  148.     èèèèYè=è─ ─────è+è─ ─────è 
  149.     èèèèèèè2ès-1èèè2ès+1
  150.  
  151.  
  152.     3)    Use ê table ë take ê ïverse transform i.e. go
  153.     from ê transformed solution Y(s) back ë ê orgïal 
  154.     solution y(t).èLook ï ê table ë fïd ê transform 
  155.     given with its specific value ç constant(s) å write it
  156.     ï terms ç ê origïal function ç t.èThe lïearity
  157.     property holds ï both directions.
  158.  
  159.     Usïg ê transform
  160.     èèèèèèèèèè 1
  161.     èèèèÿ{ e╜▐ } = ─────
  162.     èèèèèèèèèès-a
  163.  
  164.     with a = 1èfor 1/s-1èå a = -1 for 1/s+1,
  165.     ê specific solution becomes
  166.  
  167.         y = 5/2 e▐ + 1/2 eú▐
  168.  
  169.  1    y»»» + 2y»» = 0;èy(0) = -6; y»(0) = 1; y»»(0) = 8
  170.  
  171.     A)    y = 8 + 5t + 2eúì▐
  172.     B)    y = 8 + 5t - 2eúì▐    
  173.     C)    y = 8 - 5t + 2eúì▐
  174.     D)    y = -8 + 5t + 2eúì▐
  175.  
  176.  
  177. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  178.  
  179.         y»»» + 2y»» = 0
  180.         
  181.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  182.     å callïg Y = ÿ{ y }
  183.     
  184.     èsÄY - sìy(0) - sy»(0) - y»»(0) + 2[sìY -sy(0) - y»(0)] = 0
  185.  
  186.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  187.  
  188.     èsÄY + 6sì - s - 8 + 2[sìY + 6s - 1] = 0
  189.  
  190.     èè (sÄ+2sì)Yè= -6sì - 11s + 10
  191.     Or
  192.         èèè-6sì-11s+10
  193.         Y =è─────────────
  194.         èèèèsì(s+2)
  195.  
  196.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  197.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  198.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  199.  
  200.     èè -6sì-11s+10èèè Aèèè BèèèèC
  201.     èè─────────────è=è───è+è───è+è─────
  202.     èèè sì(s+2)èèèè sèèè sìèèès+2
  203.  
  204.     where A, B, C are undetermïed constants.è
  205.  
  206.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  207.         sì(s+2)
  208.  
  209.          -6sì-11s+10 = As(s+2) + B(s+2) + Csì
  210.  
  211.     If s = 0è 10 = 2Bèèi.e.èB = 5
  212.  
  213.     If s = -2è 8 = 4Cèèi.e.èC = 2
  214.  
  215.     If s = 1è -7 = 3A + 3B + C = 2A + 15 + 2
  216.     èèèèè -24 = 3Aè i.e.èA = -8
  217.  
  218.         èèèè 1èèèè1èèèè 1
  219.         Y =è-8 ───è+ 5 ───è+ 2 ─────
  220.         èèèè sèèèèsìèèè s+2
  221.  
  222.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  223.     ê specific solution
  224.  
  225.         y =è-8 + 5t + 2eúì▐
  226.  
  227. ÇèD
  228.  
  229.  2    y»»» - 3y»» + 2y»è=è6eÄ▐
  230.         y(0) = 5;èy»(0) = 6;èy»»(0) = 16
  231.  
  232.     A)    y = 3 - e▐ + 2eì▐ + eÄ▐
  233.     B)    y = 3 + e▐ + 2eì▐ - eÄ▐
  234.     C)    y = 3 + e▐ - 2eì▐ + eÄ▐
  235.     D)    y = 3 + e▐ + 2eì▐ + eÄ▐
  236.  
  237.  
  238. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  239.  
  240.         y»»» - 3y»» + 2y» =è6eÄ▐
  241.         
  242.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  243.     å callïg Y = ÿ{ y }
  244.     
  245.     èsÄY - sìy(0) - sy»(0) - y»»(0) - 3[sìY -sy(0) - y»(0)]
  246.  
  247.         + 2[ sY -y(0)]è=èÿ{ eÄ▐ }è=è1/ s-3
  248.  
  249.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  250.  
  251.     èsÄY - 5sì - 6s - 16 - 3[sìY - 5s - 6] 
  252.     èèèèèèèèèèèèèè1
  253.     èèèèè+ 2[sY - 5]è=è─────
  254.     èèèèèèèèèèèèè s-3
  255.     èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè1
  256.     èè (sÄ-3sì+2s)Yè= 5sì - 9s + 8è+è─────
  257.     èèèèèèèèèèèèèèèèèèè s-3
  258.  
  259.  
  260.     èèèèèèèèèèè 5sÄ - 24sì + 35s - 18
  261.     èèèèèèèèYè=è───────────────────────
  262.     èèèèèèèèèèèèès(s-1)(s-2)(s-3)
  263.  
  264.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  265.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  266.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  267.  
  268.     èè 5sÄ-24sì+35s-18èèè AèèèèBèèèè Cèèè D
  269.     èè─────────────────è=è───è+è─────è+è───── + ─────
  270.     èè s(s-1)(s-2)(s-3)èèèsèèè s-1èèè s-2èè s-3
  271.  
  272.     where A, B, C, D are undetermïed constants.è
  273.  
  274.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  275.         s(s-1(s-2)(s-3)
  276.  
  277.      5sÄ-24sì+35s-18 = A(s-1)(s-2)(s-3) + Bs(s-2)(s-3)
  278.  
  279.     èèèèèèèèè + Cs(s-1)(s-3) + Ds(s-1)(s-2)
  280.  
  281.     If s = 0è-18 = -6Aèèi.e.èA = 3
  282.  
  283.     If s = 1è -2 = 2Bèè i.e.èB = -1
  284.  
  285.     If s = 2è -4 = -2Cèèi.e.èC = 2
  286.  
  287.     If s = 3èè6 = 6Dèè i.e.èD = 1
  288.  
  289.         èèèè 1èèèè1èèèèè1èèèè 1
  290.         Y =è 3 ───è-è─────è+ 2 ─────è+è─────
  291.         èèèè sèèè s-1èèèès-2èèè s-3
  292.  
  293.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  294.     ê specific solution
  295.  
  296.         y =è3 - e▐ + 2eì▐ + eÄ▐
  297.  
  298. ÇèA
  299.  
  300.  3    y»»» -2y»» + y» - 2yè=è=
  301.         y(0) = -6è y»(0) = -5è y»»(0) = -14
  302.  
  303.     A)    2cos[t] + 3sï[t] + 4eì▐
  304.     B)    -2cos[t] + 3sï[t] - 4eì▐
  305.     C)    2cos[t] - 3sï[t] + 4eì▐
  306.     D)    2cos[t] + 3sï[t] - 4eì▐
  307.  
  308. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  309.  
  310.         y»»» - 2y»» + y» - 2yè=è0
  311.         
  312.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  313.     å callïg Y = ÿ{ y }
  314.     
  315.     èsÄY - sìy(0) - sy»(0) - y»»(0) - 2[sìY -sy(0) - y»(0)]
  316.  
  317.         + [ sY -y(0)] -2Yè=è0
  318.  
  319.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  320.  
  321.     èsÄY + 6sì + 5s + 14 - 2[sìY + 6s + 5] 
  322.     èèèèèèèèèèèè 
  323.     èèèèè+ [sY + 6] - 2Yè=è0
  324.     èèèèèèèèèèèè     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  325.     èè (sÄ-2sì+s-2)Yè= -6sì + 7s - 10
  326.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  327.     èèèèèèèèèèè - 6sì + 7s - 10
  328.     èèèèèèèèYè=è─────────────────
  329.     èèèèèèèèèèèè(sì+1)(s-2)
  330.  
  331.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  332.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  333.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  334.  
  335.     èèè- 6sì + 7s - 10èèè As+BèèèèC
  336.     èè ─────────────────è=è──────è+è─────
  337.     èèèè(sì+1)(s-2)èèèè sì+1èèè s-2
  338.  
  339.     where A, B, C are undetermïed constants.è
  340.  
  341.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  342.         (sì+1)(s-2)
  343.  
  344.     èèè- 6sì+7s-10è= As(s-2) + B(s-2) + C(sì+1)
  345.  
  346.     If s = 2è -20 = 5Cèèi.e.èC = -4
  347.  
  348.     If s = 0è -10 = -2B + Cè=è-2B - 4
  349. èèèèèèèèè -6è= -2Bè i.e.èB = 3
  350.     
  351.     If s = 1è -9è= -A - B + 2Cè=è-A - 3 - 8
  352. èèèèèèèèèè2è= -Aèèi.e.èA = -2
  353.  
  354.         èèèèè sèèèèè 1èèèèè1è 
  355.         Y =è-2 ──────è+ 3 ──────è- 4 ───── 
  356.         èèèè sì+1èèèèsì+1èèèès-2è
  357.  
  358.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  359.     ê specific solution
  360.  
  361.         y =è-2cos[t] + 3sï[t] - 4eì▐
  362.  
  363. ÇèB
  364.  
  365.  4    y»»»» - y = 0è 
  366.         y(0) = 2;èy»(0) = 1; y»»(0) = 2;èy»»»(0) = 3
  367.  
  368.     A)    y = sï[t] + eì▐
  369.     B)    y = sï[t] - eì▐
  370.     C)    y = -sï[t] + eì▐
  371.     D)    y = -sï[t] - eì▐
  372.  
  373. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  374.  
  375.         y»»»» - yè=è0
  376.         
  377.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  378.     å callïg Y = ÿ{ y }
  379.     
  380.     èsÅY - sÄy(0) - sìy»(0) - sy»»(0) - y(0) - Yè=è0
  381.  
  382.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  383.  
  384.     èsÅY - 2sÄ - sì - 2s - 3 - Yè=è0
  385.     èèèèèèèèèèèè 
  386.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  387.     èè (sÅ-1)Yè= 2sÄ + sì + 2s + 3
  388.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  389.     èèèèèèèèèèèè 2sÄ+sì+2s+3
  390.     èèèèèèèèYè=è─────────────────
  391.     èèèèèèèèèèè (sì+1)(s-1)(s+1)
  392.  
  393.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  394.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  395.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  396.  
  397.     èèèè2sÄ+sì+2s+3èèèèèAs+BèèèèCèèèè D
  398.     èè ──────────────────è=è──────è+è─────è+è─────
  399.     èèè(sì+1)(s-1)(s+1)èèè sì+1èèè s-1èèè s+1
  400.  
  401.     where A, B, C, D are undetermïed constants.è
  402.  
  403.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  404.         (sì+1)(s-1)(s+1)
  405.  
  406.     2sÄ+sì+2s+3è= As(s-1)(s+1) + B(s-1)(s+1) 
  407.  
  408.              + C(sì+1)(s+1)è+èD(sì+1)(s-1)
  409.  
  410.     If s = 1è 8 = 4Cèèi.e.èC = 2
  411.  
  412.     If s = -1è 0 = -2Dèi.e.èD = 0
  413.     
  414.     If s = 0è 3è= -B + C - 2Dè=è-A + 2
  415. èèèèèèèèè 1 = -Bèèi.e.èB = -1
  416.  
  417.     If s = 2è 27 = 6A + 3B + 15C + 5D = 6A - 3 + 30 
  418.     èèèèèè0è6Aèèi.e.èA = 0
  419.  
  420.         èèèèè1èèèèè1èè 
  421.         Y =è- ──────è+ 2 ──── 
  422.         èèèèsì+1èèèès-1èèè 
  423.  
  424.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  425.     ê specific solution
  426.  
  427.         y =è-sï[t] + 2e▐
  428.  
  429. ÇèC
  430.  
  431.  5    y»»»» - y»»è=è0
  432.         y(0) = 2; y»(0) = 7; y»»(0) = -1; y»»»(0) = 9
  433.  
  434.     A)    3 + 2t + 4e▐ + 5eú▐
  435.     B)    3 - 2t + 4e▐ - 5eú▐
  436.     C)    -3 + 2t - 4e▐ + 5eú▐
  437.     D)    -3 - 2t - 4e▐ - 5eú▐
  438.  
  439. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  440.  
  441.         y»»»» - y»»è=è0
  442.         
  443.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  444.     å callïg Y = ÿ{ y }
  445.     
  446.     èsÅY - sÄy(0) - sìy»(0) - sy»»(0) - y(0) 
  447.         - [ sìY - sy(0) - y»(0) ]è =è0
  448.  
  449.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  450.  
  451.     èsÅY - 2sÄ - 7sì + s - 9 - sìY + 2s + 7è=è0
  452.     èèèèèèèèèèèè 
  453.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  454.     èè (sÅ-sì)Yè= 2sÄ + 7sì - 3s + 2
  455.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  456.     èèèèèèèèèèèè2sÄ+7sì-3s+2
  457.     èèèèèèèèYè=è───────────────
  458.     èèèèèèèèèèèèsì(s-1)(s+1)
  459.  
  460.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  461.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  462.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  463.  
  464.     èèè2sÄ+7sì-3s+2èèè AèèèBèèèèCèèèè D
  465.     èè ──────────────è=è───è+ ───è+è─────è+è─────
  466.     èèèsì(s-1)(s+1)èèè sèèèsìèèès-1èèè s+1
  467.  
  468.     where A, B, C, D are undetermïed constants.è
  469.  
  470.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  471.         è sì(s-1)(s+1)
  472.  
  473.     2sÄ+7sì-3s+2è= As(s-1)(s+1) + B(s-1)(s+1) 
  474.  
  475.              + Csì(s+1)è+èDsì(s-1)
  476.  
  477.     If s = 0è 2 = -Bèèi.e.èB = -2
  478.  
  479.     If s = -1è10 = -2Dèi.e.èD = -5
  480.     
  481.     If s = 1è 8è= 2Cè i.e.èC =è4
  482.  
  483.     If s = 2è 40 = 6A + 3B + 12C + 4D = 6A - 6 + 48 - 20
  484.     èèèèè 18 = 6Aè i.e.èA =è3
  485.  
  486.         èèè 1èèèè1èèèè 1èèèèè1
  487.         Y = 3 ───è- 2 ───è+ 4 ─────è- 5 ───── 
  488.         èèè sèèèèsìèèè s-1èèèès+1
  489.  
  490.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  491.     ê specific solution
  492.  
  493.         y =è3 - 2t + 4e▐ - 5eú▐
  494.  
  495. ÇèB
  496.  
  497.  6    y»»»» - 3y»» - 4yè=è0
  498.         y(0) = -1;èy»(0) = 4; y»»(0) = -4;èy»»»(0) = 26
  499.  
  500.     A)    2sï[t] + eì▐ + 2eúì▐
  501.     B)    2sï[t] - eì▐ - 2eúì▐
  502.     C)    -2sï[t] + eì▐ - 2eúì▐
  503.     D)    -2sï[t] - eì▐ + 2eúì▐
  504.  
  505. ü    è Takïg ê LaPlace transform ç ê differential equation
  506.  
  507.         y»»»» - 3y»» - 4yè=è0
  508.         
  509.     yields via ê lïearity property, ê derivative property
  510.     å callïg Y = ÿ{ y }
  511.     
  512.     èsÅY - sÄy(0) - sìy»(0) - sy»»(0) - y(0) 
  513.         - 3[ sìY - sy(0) - y»(0) ] - 4Yè =è0
  514.  
  515.     Substitutïg ê ïitial values å rearrangïg
  516.  
  517.     èsÅY + sÄ - 4sì + 4s - 26 - 3sìY - 3s + 12 - 4Y =è0
  518.     èèèèèèèèèèèè 
  519.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  520.     èè (sÅ-3sì-4)Yè= -sÄ + 4sì - s + 14
  521.     èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  522.     èèèèèèèèèèèè -sÄ+4sì-s+14
  523.     èèèèèèèèYè=è──────────────────
  524.     èèèèèèèèèèè (sì+1)(s-2)(s+2)
  525.  
  526.     In order ë put this ï a form where ê denomïaërs are eiêr
  527.     lïear or irreducible quadratic facërs, ê method ç
  528.     PARTIAL FRACTION DECOMPOSITION is used.
  529.  
  530.     èèèè-sÄ+4sì-s+14èèèèAs+BèèèèCèèèè D
  531.     èè ─────────────────è=è──────è+è─────è+è─────
  532.     èèè(sì+1)(s-1)(s+1)èèèsì+1èèè s-2èèè s+2è
  533.  
  534.     where A, B, C, D are undetermïed constants.è
  535.  
  536.     Multiplyïg both sides by ê least common denomïaër
  537.         è (sì+1)(s-2)(s+2)
  538.  
  539.     -sÄ+4sì-s+14è= As(s-2)(s+2) + B(s-2)(s+2) 
  540.  
  541.              + C(sì+1)(s+2)è+èD(sì+1)(s-2)
  542.  
  543.     If s = 2è 20 = 20Cèèi.e.èC = 1
  544.  
  545.     If s = -2è40 = -20Dèi.e.èD = -2
  546.     
  547.     If s = 0è 14è= -4B + 2C - 2Dè=è-4B + 2 + 4
  548.     èèèèèè8è= -4Bèi.e.èB = -2
  549.  
  550.     If s = 1è 16 = -3A - 3B + 6C - 2D = -3A + 6 + 6 + 4
  551.     èèèèè 0 = -3Aè i.e.èA =è0
  552.  
  553.         èèèèèè1èèèè 1èèèèè1è
  554.         Y =è- 2 ──────è+è─────è- 2 ───── 
  555.         èèèèèsì+1èèè s-2èèèès+2 
  556.  
  557.     The reverse transform can be done, usïg ê table, ë yield 
  558.     ê specific solution
  559.  
  560.         y =è- 2sï[t] + eì▐ - 2eúì▐
  561.  
  562. ÇèC
  563.  
  564.  
  565.  
  566.  
  567.